2x2 - x - 3 এর একটি উৎপাদক নিচের কোনটি?
Solution
Correct Answer: Option C
ধরি, প্রদত্ত রাশিটি হলো:
$2x^2 - x - 3$
"মিডল টার্ম ব্রেক" (Middle Term Break) বা মধ্যপদ বিশ্লেষণ পদ্ধতিতে সমাধান করতে হবে। এখানে ধ্রুবপদ $-3$ এবং $x^2$ এর সহগ $2$ গুণ করলে পাই $(2 \times -3) = -6$। এখন আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল $-6$ এবং যোগফল মাঝের পদ $-1$ (অর্থাৎ $-x$ এর সহগ) হয়। সংখ্যা দুটি হলো $-3$ এবং $+2$।
অতএব রাশিটিকে এভাবে লেখা যায়:
$= 2x^2 - 3x + 2x - 3$
[এখানে মাঝের পদ $-x$ কে $-3x + 2x$ আকারে ভেঙে লেখা হয়েছে]
$= x(2x - 3) + 1(2x - 3)$
[প্রথম অংশ $2x^2 - 3x$ থেকে $x$ কমন নেওয়া হয়েছে এবং দ্বিতীয় অংশ $2x - 3$ থেকে $1$ কমন নেওয়া হয়েছে]
$= (2x - 3)(x + 1)$
সুতরাং, প্রদত্ত রাশিটির দুটি উৎপাদক হলো $(2x - 3)$ এবং $(x + 1)$।
যেহেতু অপশনগুলোর মধ্যে $(x + 1)$ উপস্থিত, তাই এটিই সঠিক উত্তর।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলে দ্রুত সমাধানের জন্য):
সাধারণত বহুপদী রাশির উৎপাদক বের করার সময় অপশন টেস্ট (Option Test) মেথড বা ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) প্রয়োগ করা সবচেয়ে সহজ।
নিচে প্রদত্ত অপশনগুলোর মান শূন্য ধরে $x$ এর মান বের করে সরাসরি রাশিতে বসাতে হবে। যদি ফলাফল শূন্য (0) হয়, তবে সেটিই উৎপাদক।
* ১ম অপশন $(2x+3)$:
$2x+3 = 0$ বা $x = -1.5$। এটি ভগ্নাংশ, তাই আমরা পরে চেক করব।
* ২য় অপশন $(x - 1)$:
$x - 1 = 0$ বা $x = 1$ হলে,
প্রদত্ত রাশি $= 2(1)^2 - 1 - 3 = 2 - 4 = -2 \neq 0$ (উৎপাদক নয়)
* ৩য় অপশন $(x + 1)$:
$x + 1 = 0$ বা $x = -1$ হলে,
প্রদত্ত রাশি $= 2(-1)^2 - (-1) - 3$
$= 2(1) + 1 - 3$
$= 2 + 1 - 3$
$= 3 - 3$
$= 0$ (মিলে গেছে)
যেহেতু $x = -1$ বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়, তাই নিশ্চিতভাবে বলা যায় $(x + 1)$ রাশিটির একটি উৎপাদক।
সঠিক উত্তর: $x + 1$
$2x^2 - x - 3$
"মিডল টার্ম ব্রেক" (Middle Term Break) বা মধ্যপদ বিশ্লেষণ পদ্ধতিতে সমাধান করতে হবে। এখানে ধ্রুবপদ $-3$ এবং $x^2$ এর সহগ $2$ গুণ করলে পাই $(2 \times -3) = -6$। এখন আমাদের এমন দুটি সংখ্যা খুঁজে বের করতে হবে যাদের গুণফল $-6$ এবং যোগফল মাঝের পদ $-1$ (অর্থাৎ $-x$ এর সহগ) হয়। সংখ্যা দুটি হলো $-3$ এবং $+2$।
অতএব রাশিটিকে এভাবে লেখা যায়:
$= 2x^2 - 3x + 2x - 3$
[এখানে মাঝের পদ $-x$ কে $-3x + 2x$ আকারে ভেঙে লেখা হয়েছে]
$= x(2x - 3) + 1(2x - 3)$
[প্রথম অংশ $2x^2 - 3x$ থেকে $x$ কমন নেওয়া হয়েছে এবং দ্বিতীয় অংশ $2x - 3$ থেকে $1$ কমন নেওয়া হয়েছে]
$= (2x - 3)(x + 1)$
সুতরাং, প্রদত্ত রাশিটির দুটি উৎপাদক হলো $(2x - 3)$ এবং $(x + 1)$।
যেহেতু অপশনগুলোর মধ্যে $(x + 1)$ উপস্থিত, তাই এটিই সঠিক উত্তর।
শর্টকাট টেকনিক (পরীক্ষার হলে দ্রুত সমাধানের জন্য):
সাধারণত বহুপদী রাশির উৎপাদক বের করার সময় অপশন টেস্ট (Option Test) মেথড বা ভাগশেষ উপপাদ্য (Remainder Theorem) প্রয়োগ করা সবচেয়ে সহজ।
নিচে প্রদত্ত অপশনগুলোর মান শূন্য ধরে $x$ এর মান বের করে সরাসরি রাশিতে বসাতে হবে। যদি ফলাফল শূন্য (0) হয়, তবে সেটিই উৎপাদক।
* ১ম অপশন $(2x+3)$:
$2x+3 = 0$ বা $x = -1.5$। এটি ভগ্নাংশ, তাই আমরা পরে চেক করব।
* ২য় অপশন $(x - 1)$:
$x - 1 = 0$ বা $x = 1$ হলে,
প্রদত্ত রাশি $= 2(1)^2 - 1 - 3 = 2 - 4 = -2 \neq 0$ (উৎপাদক নয়)
* ৩য় অপশন $(x + 1)$:
$x + 1 = 0$ বা $x = -1$ হলে,
প্রদত্ত রাশি $= 2(-1)^2 - (-1) - 3$
$= 2(1) + 1 - 3$
$= 2 + 1 - 3$
$= 3 - 3$
$= 0$ (মিলে গেছে)
যেহেতু $x = -1$ বসালে রাশিটির মান শূন্য হয়, তাই নিশ্চিতভাবে বলা যায় $(x + 1)$ রাশিটির একটি উৎপাদক।
সঠিক উত্তর: $x + 1$
অ্যাপ/ওয়েবসাইটে রুটিনভিত্তিক নিয়মিত লাইভ পরীক্ষা হচ্ছে।
পরীক্ষা – ৭৯
কোর্স নামঃ
প্রাইমারি প্রধান শিক্ষক নিয়োগ প্রস্তুতি (২য় ব্যাচ)
টপিকসঃ
আন্তর্জাতিক বিষয়াবলী সম্পূর্ণ সিলেবাস (১০০ মার্ক)
৫ ফেব্রুয়ারি থেকে শুরু।
রুটিন দেখুন
পরীক্ষা-৫৪
কোর্স নামঃ
৫১ তম বিসিএস প্রস্ততি - ২৩৬ দিনে সম্পূর্ণ সিলিবাস।
টপিকসঃ
বাংলা সাহিত্য
খুব গুরুত্বপূর্ণঃ কাজী নজরুল ইসলাম।
গুরুত্বপূর্ণঃ মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, এস. ওয়াজেদ আলি, কায়কোবাদ, কাজী ইমদাদুল হক, কাজী আবদুল ওদুদ, জহির রায়হান, জাহানারা ইমাম, দ্বিজেন্দ্রলাল রায়, নির্মলেন্দু গুণ, নুরুল মোমেন, প্যারীচাঁদ মিত্র,।
কম গুরুত্বপূর্ণঃ আবুল হাসান, আসাদ চৌধুরী, আরজ আলী মাতুব্বর, আশরাফ সিদ্দিকী, আহমদ ছফা, ড. আহমদ শরীফ, আহসান হাবীব, আহমদ রফিক, ইব্রাহীম খাঁ, ঈশ্বরচন্দ্র গুপ্ত, উইলিয়াম কেরি, এম. আর. আখতার মুকুল, কাঙাল হরিনাথ, কাজী মোতাহার হোসেন, কামিনী রায়, কালিদাস রায়, কালীপ্রসন্ন ঘোষ, কালীপ্রসন্ন।
খুব গুরুত্বপূর্ণঃ কাজী নজরুল ইসলাম।
গুরুত্বপূর্ণঃ মানিক বন্দ্যোপাধ্যায়, এস. ওয়াজেদ আলি, কায়কোবাদ, কাজী ইমদাদুল হক, কাজী আবদুল ওদুদ, জহির রায়হান, জাহানারা ইমাম, দ্বিজেন্দ্রলাল রায়, নির্মলেন্দু গুণ, নুরুল মোমেন, প্যারীচাঁদ মিত্র,।
কম গুরুত্বপূর্ণঃ আবুল হাসান, আসাদ চৌধুরী, আরজ আলী মাতুব্বর, আশরাফ সিদ্দিকী, আহমদ ছফা, ড. আহমদ শরীফ, আহসান হাবীব, আহমদ রফিক, ইব্রাহীম খাঁ, ঈশ্বরচন্দ্র গুপ্ত, উইলিয়াম কেরি, এম. আর. আখতার মুকুল, কাঙাল হরিনাথ, কাজী মোতাহার হোসেন, কামিনী রায়, কালিদাস রায়, কালীপ্রসন্ন ঘোষ, কালীপ্রসন্ন।
১০ ফেব্রুয়ারি, ২০২৬
রুটিন দেখুন
Practice More Questions on Our App!
Download our app for free and access thousands of MCQ questions with detailed solutions